Наглядная физика.
Основы кинематики

Человек (наблюдатель), рассматривая окружающие его тела, всегда воспринимает их движение относительно своего тела (или точнее, относительно своей головы, глаз). Но наша система восприятия устроена так, что в большинстве случаев движение тел рассматривается как движение относительно земной поверхности.  Например, глядя из окна движущегося вагона, мы всегда считаем, что это именно вагон едет, а все внешние предметы (телеграфные столбы и др.) неподвижны вместе с земной поверхностью. Аналогично, мы знаем, что Земля вращается, совершая один оборот за сутки, но наши органы чувств показывают нам, что Солнце, Луна и звезды на небе медленно поворачиваются вокруг нас.

В физике стараются описывать явления независимо от наблюдателя и поэтому заменяют наблюдателя телом отсчёта.

Механическим движением тела называется процесс изменения его положения относительно тела отсчета. Заметим, что покой --- это частный случай движения, покой тоже относителен. Чтобы рассматривать движение данного тела, необходимо сначала выбрать тело отсчета, а затем уже описывать изменение положения рассматриваемого тела относительно выбранного тела отсчета. Но этот выбор не всегда можно сделать однозначно. Существует много различных тел отсчёта, которые физически совершенно равноправны. Поэтому нет (физически) выделенного тела отсчёта.

Итак, движение тела, а значит, и описание его причин, может выглядеть по-разному, при выборе различных тел отсчёта.

Модель показывает, как изменяется вид окружающей обстановки при различном выборе наблюдателя.

Равномерное движение можно описывать, используя одну координатную ось Ox, направленную вдоль вектора скорости v (если начальная скорость не равна 0). Графиком проекции vx скорости движения на эту ось будет прямая, параллельные оси времени. Если тело движется в направлении, противоположном оси Ox, то проекция скорости будет отрицательной, если же в направлении оси  Ox, то - положительной. При равномерном движении путь и проекции перемещения изменяются прямо пропорционально времени, и графические зависимости пути и проекции Δx перемещения на ось Ox от времени будут линейными. График координаты будет параллелен графику проекции перемещения.

Модель демонстрирует равномерное движение двух шариков. Для каждого из них (соответствующим цветом) показаны графики проекции vx скорости, проекции  Δrx перемещения и график координаты x. Перемещая мышкой выделенные точки графиков, можно установить начальные положения шариков и их начальные скорости. Чек-боксы позволяют включить или отключить показ вектора скорости или "следы", оставляемые шариками через равные промежутки времени.

Предусмотрены четыре режима работы модели:"Движение 1"  - движение синего шарика."Движение 2"- движение красного шарика.  "Движение 1 и 2"  - движение двух шаров. "Пошаговый режим". На оси времени графика координаты появляются зеленые треугольники, перемещая которые можно выбирать моменты времени.

Следующее изменение параметров возможно только после нажатия кнопки Отмена.

Движение с изменяющимся вектором скорости движения называется неравномерным. Неравномерное движение характеризуется средней скоростью изменения пути и средней скоростью перемещения. При этом средняя скорость пути не меньше модуля средней скорости перемещения. График движения - это график зависимости координаты тела от времени. График скорости -график зависимости (проекции или модуля) скорости от времени.

Модель демонстрирует движение двух автомобилей (синего и красного) и графики движения и скорости. Средние скорости автомобилей (за все время движения) одинаковы и поэтому они прибывают в пункт назначения одновременно,хотя видно, что движутся автомобили по-разному.

Пусть движение материальной точки определяется заданием ее положения r(t) в каждый момент времени t. Средняя скорость vср за промежуток времени между моментами времени t и t+Δtравна отношению перемещения Δr = r(t+Δ t) - r(t) к промежутку времени Δt. При неравномерном движении вектор средней скорости vср зависит от Δt. Вектор мгновенной скорости v(t) в момент времени t определяется как предел этой средней скорости v(t) при Δt стремящемся к 0. Это значит, что при очень маленьких Δt средняя скорость  vср почти не зависит от Δt. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной, проведенной к траектории в текущей точке.

Модель показывает перемещение движущейся точки, ее среднюю и мгновенную скорости. В пределе, когда приращение времени Δt стремится к нулю, вектор средней скорости стремится к вектору мгновенной скорости. Модель показывает основные величины для различных значений приращения времени в различных точках траектории. В режиме Пауза можно перемещать текущую точку по траектории и менять приращение времени Δt . Можно выбрать один из трех типов движения - общее, по окружности или прямолинейное.

Путь s материальной точки, пройденный за некоторый промежуток времени, равен длине траектории, пройденной за этот промежуток времени. Пусть движение материальной точки определяется заданием ее положения r(t) в каждый момент времени t.  Перемещением материальной точки за данный промежуток времени называют вектор, соединяющий начальное положение точки с ее конечным положением. Точнее, перемещением Δr материальной точки за промежуток времени Δt между моментами времени t и t+Δt  называется вектор Δr, соединяющий ее начальное положение r(t) с конечным r(t+Δ t), ТАК ЧТО

Модуль |Δr| вектора перемещения не может быть больше пройденного за этот же промежуток времени пути s. Это следует из геометрического свойства прямой: отрезок является кратчайшей линией, из всех линий, соединяющих его концы.

Модель демонстрирует различие между путем и модулем перемещения.

Путь 1 это отрезок OA и поэтому всегда s=| Δr | .

Путь 2 состоит из двух катетов OB и BC равнобедренного прямоугольного треугольника OBC.Поэтому |s| равно сумме длин катетов, т. е. s=|OB|+|BC|, а конечное значение модуля перемещения | Δr | равно длине гипотенузы OC. Поэтому | Δr |=|OC|= s / √2 .

Путь 3 состоит из отрезка OD и криволинейного участка DC . Видно, что  s<|Δr|.

Сравним описания движения тела в двух системах отсчета, неподвижной системе Oxy и движущейся относительно нее системе O'x'y' . Перемещение Δr движущего тела относительно неподвижной системы отсчета за данный промежуток времени Δt равно сумме его перемещения Δr' относительно подвижной системы отсчета и перемещения Δr0 подвижной системы относительно неподвижной за этот же промежуток времени Δt (1):

Это равенство получается из рассмотрения изменения векторов в равенстве (2)

Системы отсчёта и основные векторы показаны на рис. Равенству (1) на этом рисунке соответствует треугольник с вершиной в точке M , вектор r' на рисунке не показан (см. пояснения к модели "Две системы отсчета").

Рис. Две системы отсчёта в моменты времени t и Δt .

Тела отсчёта и системы координат выделены красным цветом для первой системы отсчёта и синим -для второй, часы не показаны. За время Δt вторая система отсчёта переместилас относительно первой на вектор Δr0 . Её положение в момент времени t+\Delta t показано синими штриховыми линиями.

Материальная точка M относительно первой системы за это же время переместилась на вектор Δr '  относительно второй системы отсчёта, а относительно первой - на вектор Δr . Перемещение тела B относительно этих систем отсчета Δr и Δr'  связаны друг с другом законом сложения перемещений (1). Заметим, что векторы Δr и Δr0   показаны красным, т. к. они относятся к первой системе отсчёта, а вектор Δr ' --синим, т. к. он относится ко второй системе отсчёта.

Из сложения перемещений можно вывести закон сложения скоростей, т. к. скорость равна отношению перемещения к величине интервала времени: 

где Δt в случае неравномерного движения должно быть очень малым.

Закон сложения скоростей имеет вид:

 (1) 

где v - скорости тела относительно неподвижной системы отсчета,  v1- скорость тела относительно подвижной системы отсчета (воды), v2- скорость подвижной системы отсчета (воды) относительно неподвижной (берега). Итак, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна сумме его вектора скорости  относительно подвижной системы и вектора скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Модель демонстрирует движение тела (пловца) в текущей воде. Скорость тела (пловца) задается относительно воды, это скорость v1. Тогда скорость v движения тела относительно берега будет равна сумме (1). Следовательно, скорость v движения тела относительно берега равна скорости v1 тела относительно воды плюс скорость v2 течения воды в реке. Скорости v , v1 и v2 показаны соответственно черным, синим и красным векторами. Модель показывает движение пловца при различных скоростях пловца относительно воды и скорости течения воды. Положение различных объектов на берегу (дерево и домики) можно изменять. 

На первый взгляд все это кажется простым и совершенно очевидным. Но позже вы узнаете, что этот закон сложения скоростей выполняется лишь приближенно, а для скоростей, сравнимых со скоростью света, применяется другая формула. Стоит продумать ситуацию в более абстрактном изображении, см. рис.

 Рис. Две системы отсчёта. Тела отсчёта и системы координат выделены красным цветом для первой системы отсчёта и синим - для второй, часы не показаны. Вторая система отсчёта движется относительно первой с постоянной скоростью v0 . Материальная точка M относительно первой системы координат движется со скоростью v , а относительно второй - со скоростью v '. Скорости тела M относительно этих систем отсчета v и v1' связаны друг с другом законом сложения скоростей:

(2) 

Заметим, что векторы v и v0 показаны красным, т. к. они относятся к первой системе отсчёта, а вектор v1'- синим, т. к. он относится ко второй системе отсчёта. Формула (2) отличается от формулы (1) лишь обозначениями.

Наиболее простым неравномерным движением является движение, при котором скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Такое движение называется равноускоренным. Путь s при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью  пропорционален квадрату времени: 

               (1)

где a- модуль ускорения a, t - время движения.

Модель демонстрирует скатывание тележки по наклонной доске. Для отсчета времени и пройденного пути использована капельница. Линейка позволяет измерять расстояния, между каплями. Движение тележки, если пренебречь несущественными деталями, является равноускоренным. Капли капают через равные промежутки времени Δt и отмечают положения тележки. Пройденный тележкой путь за промежуток времени Δt совпадает с модулем перемещения. Видно, что пути, проходимые капельницей за одинаковые последовательно промежутки времени, пропорциональны последовательным нечётным числам

Действительно, капли падают в моменты времени tn = nΔt, где n=0, 1,2, ... Пройденный за время tn путь s(tn) вычисляем по формуле (1):

Поэтому путь, пройденный за время Δt между падением капель n и n+1 равен

где n=1,2,... Теперь, используя полученное значение sn, вычисляем отношение

Это отношение равно отношению соседних нечётных чисел.

Если скорость движения тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину, то движение называют равноускоренным. Ускорение есть физическая векторная величина, модуль которой численно равен модулю изменения скорости движения за единицу времени, или

где Δv- изменение скорости движения тела за промежуток времени Δt. При равноускоренном движении скорость тела линейно зависит от ускорения

где v0- скорость в начальный момент времени t=0.

При прямолинейном равноускоренном движении все векторы направлены вдоль одной прямой, поэтому для описания равноускоренного движения можно использовать одну ось координат Ox. Тогда при равноускоренном движении проекция vx скорости v на ось Ox  будет линейно зависеть от времени

График зависимости ускорения от времени является прямой, параллельной оси времени. График проекции скорости на ось Ox представляет линейную зависимость vx(t).

При неравномерном движении вектор скорости зависит от времени, что записывается формулой вида v=v(t). При неравномерном движении пройденный телом путь S нельзя определить, просто перемножив величину скорости v на время движения t. Но если промежуток времени t настолько мал, что изменением скорости можно пренебречь, то пройденный телом путь приближённо равен произведению v(t)·t.По графику зависимости модуля скорости от времени можно определить путь, пройденный телом за данный промежуток времени. Он равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени, см. рис.

Рис. Синяя линия - график величины скорости тела от времени, т. е. график функции v=v(t).

Пройденный телом путь за промежуток времени от t1 до t2, равен площади S фигуры, выделенной серым. Эта фигура сверху ограничена графиком, снизу - осью времени Ot, слева - вертикальной прямой t=t1, справа -   вертикальной прямой t=t2. Красным цветом выделена аналогичная фигура, соответствующая очень маленькому интервалу времени Δt,  vср - величина средней скорости этого движения. Видно, что площадь этой фигуры ΔS ≈ vср·Δt. Действительно, для очень маленького Δt эта фигура - трапеция. А площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (это vср) на высоту (это Δt). Теперь понятно, что площадь всей серой фигуры можно представить в виде суммы площадей таких маленьких трапеций. Это объясняет, почему пройденный путь равен площади фигуры под графиком скорости.

В частности, при равноускоренном движении (с ускорением a) фигура под графиком является прямоугольным треугольником со сторонами a (t2-t1) и t2-t1. Площадь такого треугольника равна половине произведения длин катетов, т. е.

Модель демонстрирует неравномерное движение тела (автомобиля). График скорости состоит из отрезков, соответствующих различным движениям. Число отрезков графика можно менять от 1 до 5. Пройденный путь равен площади многоугольника и поэтому легко вычисляется.

Вращательное движение материальной точки задается углом поворота φ(t) радиуса, соединяющего центр окружности (траектории) с точкой, в каждый момент времени t. При равномерном вращении зависимость угла поворота от времени имеет вид

φ(t)= φ0+ ωt, где φ0 - начальный угол,  ω - угловая скорость вращения.Модуль v  линейной скорости  v движения точки по окружности связан с модулем угловой скорости вращения ω простым соотношением

где R - радиус окружности. Увеличение радиуса окружности, по которой движется точка, или модуля угловой скорости вращения приводит к увеличению модуля линейной скорости. Модель демонстрирует движение двух материальных точек (показанных зеленым и красным цветом) по окружностям с общим центром и одинаковыми угловыми скоростями, но с различными радиусами. И угловую скорость, и радиусы окружностей можно изменять.

Модель объясняет вывод формулы  для центростремительного ускорения. Идея вывода состоит в следующем.

Пусть точка A вращается вокруг точки O с постоянной угловой скоростью ω, угол поворота φ = ωt . Тогда модуль v линейной скорости точки A равен Rω , где R=|OA| - радиус окружности, по которой движется точка A. Центростремительное ускорение a точки A есть "скорость" изменения линейной скорости v точки A .

Если в каждый момент времени вектор линейной скорости откладывать от точки O'  (как показано на рисунке), то окажется, что конец B отложенного вектора v вращается равномерно вокруг точки O' с угловой скоростью ω. Действительно, отрезки OA и O'B в каждый момент времени ортогональны. Следовательно, точка B движется по окружности радиуса |OB|=v=Rω  с угловой скоростью ω . Понятно, что линейная скорость точки B равна |OB| ω = R ω² . Но это и есть скорость изменения скорости v.

Следовательно, длина вектора центростремительного ускорения равна

где v = Rω - линейная скорость точки A .